Trigometria

A Trigonometria Plana trata da resolução de triângulos do plano e a Trigonometria Esférica da resolução de triângulos na esfera.

Durante a maior parte da existência da Trigonometria, seu desenvolvimento foi comandado pelo da Trigonometria Esférica, pois essa era a usada na Astronomia Matemática, por muitos séculos, sua maior aplicação. Foi só com o desenvolvimento da Mecânica e da Física que a Trigonometria Plana passou ao primeiro plano.

Hoje a vasta maioria das pessoas sequer sabe o que é Trigonometria Esférica e muitos outros acham que ela é disciplina completamente ultrapassada, coisa dos livros de História da Matemática. Nada mais falso, pois ela continua sendo disciplina básica para a Astronomia Matemática, bem como para um grande elenco de disciplinas mais recentes, como a Geodésia, a Navegação Oceânica, a Navegação Aérea, a Mecânica de Satélites Artificiais, a Transmissão de Radio de Grande Alcance, o Cálculo de Trajetórias de Mísseis Intercontinentais, o Cálculo do Aquecimento Solar em Arquitetura, etc.


3.- Notícia sobre a resolução dos triângulos esféricos



Fórmulas básicas

lei dos senos ( de al-Biruni ) :



sen a

--------------------------------------------------------------------------------

sen A

= sen b

--------------------------------------------------------------------------------

sen B

= sen c

--------------------------------------------------------------------------------

sen C



lei dos co-senos ( de al-Battani ) :



cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A



Os problemas clássicos de resolução de triângulo esférico



Problema clássico de resolução de triângulos é todo aquele onde são dados ângulos e lados e se quer determinar os demais. Na Trigonometria Plana temos apenas quatro casos clássicos. Mas na Trigonometria Esférica, como a soma dos ângulos não tem um valor fixo, temos seis casos:

( os lados e ângulos dados estão em vermelho )



Observe que a versão plana do primeiro caso é desconsiderada por ter infinitas soluções; por outro lado, a versão plana do quarto é absorvida pelo sexto caso.



Um exemplo simples:



Sendo dados A = 60 °, b = 30 ° e c = 60 °, achar o lado e ângulos restantes.



Solução:

Usaremos a lei dos cos três vezes:

cos a = cos 30° cos 60° + sen 30° sen 60° cos 60° = 0.649 519 053, logo a = 49° 29' 41"

cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C, dá cos C = -0.164 398 988 e daí C = 99° 27' 44"

cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B, dá cos B = 0.821 994 937 e daí B = 34° 42' 54".



1.- A idéia genial de Hipparchos



Os problemas de triângulos mais comuns e importantes são aqueles em que, a partir de alguns lados e ângulos conhecidos, queremos achar os demais lados e ângulos. Esses problemas trazem o inconveniente de que as relações entre esses elementos usualmente não são algébricas. Por exemplo, no caso de um triângulo qualquer a relação entre os lados do mesmo não é algébrica, a não ser no caso especial de triângulos retângulos ( para os quais vale o teorema de Pythagoras ).

Contudo, introduzindo a função trigonométrica co-seno, podemos facilmente achar relações algébricas entre os lados e os cos dos ângulos do triângulo, conforme nos diz o teorema dos co-senos, em notação clássica :



a2 = b2 + c2 - 2 b c cos A





b2 = a2 + c2 - 2 a c cos B





c2 = a2 + b2 - 2 a b cos C



Com tais relações, por exemplo, conhecendo b, c e A, o valor de a será facilmente obtido a partir de uma extração de raiz quadrada precedida da determinação do cos A.



Essa, em essência, foi a idéia de Hipparchos e é tão simples que poucos se dão conta de sua genialidade. Com a introdução de funções trigonométricas, ele não só viabilizou achar relações entre lados e ângulos de triângulos, mas tornou algébricas essas relações. Esse artifício de cálculo tem um preço: é preciso construir tabelas das funções trigonométricas.



2.- A função trigonométrica de Hipparchos: a corda



Hipparchos introduziu, em verdade, uma única função trigonométrica: a função corda, conforme mostrado na figura abaixo. Dado um círculo de raio R, a função corda associa a cada ângulo A de vértice no centro do círculo o valor da medida da respectiva corda geométrica:



É é fácil ver que essa função é muito parecida com a nossa função seno. Com efeito, é imediato vermos que:



corda ( A ) = 2 R sen ( A / 2 )



Outras peculiaridades:



o valor da corda depende do raio do círculo usado

esse círculo era o círculo que circunscrevia o triângulo a resolver

EXEMPLOS:

Hipparchos usava como unidade de medida, para expressar os valores da função corda, o minuto, que era 3 438 avos do raio. Contudo, seus sucessores, usavam uma unidade mais prática, a parte, que valia 60 avos do raio. Assim sendo, temos:

corda de 60° = R = 60 partes

corda de 90° = R 2 = 84.8528 partes



EXEMPLO:

Tomando círculo de R = 8 metros, mostre que:

corda 60° = 8 m

corda 90° = 11.3137 m

3.- Como Hipparchos construiu uma tabela de valores da função corda ?



A TABELA ORIGINAL DE HIPPARCHOS 150 AC



Sua tabela dava cordas de 7.5° em 7.5°, desde zero graus até 180 graus. Para conseguir isso, ele baseou-se em resultados equivalentes à nossa fórmula do seno do meio ângulo e a fórmula do seno da soma de dois ângulos:



crd2 (A/2) = 1/2 crd (180°) [ crd (180°) - crd (180° - A)]



crd (180° - (A+B)) crd (180°) = crd (180° - A) crd (180°- B) - crd (A) crd ( B)

com isso ele:



calculou sucessivamente crd 60° , crd 30° , crd 15° , crd 7.5°

calculou a tabela propriamente dita, que dava a corda para os ângulos de 7.5 ° até 180 ° , com passo de 7.5°.





A TABELA MAIS EXATA DE PTOLEMAIOS C. 150 dC



É uma tabela mais útil, pois dá a corda de meio em meio grau, desde zero até 180 graus. Sua estratégia de cálculo é, também, um aperfeiçoamento da de Hipparchos:

usando o hexágono e o pentágono, obteve a crd de 60 e 72 graus

Usando a expressão da corda da diferença, obteve a corda de 72° - 60° = 12°

trabalhando como Hipparchos, obteve sucessivamente: crd 6° , crd 3° , crd 1.5° e crd 0.75°

obtém a crd 1° usando que se 0 < A < B < 180° então crd B : crd A : : B : A pelo meio-arco, calcula a crd 0.5° desde a crd 1° finalmente obtém, pela regra da crd da soma, as cordas de zero até 180 graus, de meio em meio grau 1.- As primeiras aplicações da Trigonometria A Trigonometria nasceu c. 300 AC entre os gregos, para resolver problemas de Astronomia Pura . Suas primeiras aplicações práticas ocorrem só com Ptolemaios 150 dC o qual, além de continuar aplicando-a nos estudos astronômicos, a usou para determinar a latitude e longitude de cidades e de outros pontos geográficos em seus mapas. Do mundo grego, a Trigonometria passou, c. 400 dC, para a India onde era usada nos cálculos astrológicos ( ainda eram problemas de Astronomia ). Por cerca de 800 dC ela chega ao mundo islâmico, onde foi muito desenvolvida e aplicada na Astronomia e Cartografia. Por cerca de 1 100 dC a Trigonometria chegou, junto com os livros de Ptolemaios, na Europa Cristâ. Aí, inicialmente estudada tão somente por suas aplicações na Astronomia, com os portugueses da Escola de Sagres encontra uma aplicação de enorme valor econômico na navegação oceânica. As aplicações da Trigonometria até c. 1 600 dC : Astronomia Cartografia Navegação Oceânica Todas essas aplicações tratavam de problemas de Trigonometria Esférica e nada tinham a ver com problemas de agrimensura ou topografia. É também importante se observar que, por c. 1600 dC, a Trigonometria estava num estágio bastante desenvolvido, em muito ultrapassando o que é hoje ensinado no segundo grau. 2.- Os métodos não trigonométricos em Topografia Como a grande maioria dos livros insiste em querer colocar a origem e desenvolvimento da Trigonometria nos problemas de cálculo de distâncias entre pontos sobre a superfície da Terra, vejamos exemplos de como os agrimensores e topógrafos do passado resolviam seus problemas. Suas técnicas eram baseadas no uso da semelhança de triângulos: EXEMPLO 1 Determinação da altura h de uma montanha usando duas sombras de uma vareta de comprimento v. Da primeira sombra: h : v = d : s1. Da segunda: h : v = ( d + e + s2 ) : s2. Daí se obtém: d = s1 ( e + s2 ) / ( s2 - s1 ) EXEMPLO 2 Cálculo da profundidade p de um buraco ( poço, ravina, etc ) usando uma vareta de comprimento v. da primeira posição da vareta obtemos: p : R = v : s1 e da segunda posição ( beirada do buraco ) : p : ( R - s2 ) = v : s2, de modo que, após eliminar o R, conseguimos: p = v s2 / ( s2 - s1 ) 3.- O Início das aplicações da Trigonometria na Geodésia : W. Snell c. 1 600 A fim de obter coordenadas dos pontos de uma região na superfície da Terra, Snell, que é mais conhecido pela lei da refração, introduziu a idéia de triangulação. Essa consiste no seguinte: cobrimos a região com uma cadeia de triângulos de vértices A, B, C, etc escolhidos de modo que cada um, C por exemplo, seja visível desde os dois precedentes ( A e B no exemplo ) e dos dois seguintes ( D e E no exemplo). Tipicamente esses vértices são escolhidos em topos de montanhas, torres de igrejas e outros pontos de fácil visualização. Medimos com exatidão o comprimento do lado AB, que é chamado base e que preferivelmente deve estar sobre um terreno plano para facilitar as medidas medimos todos os ângulos dos triângulos da cadeia a partir da lei dos senos e da base e ângulos medidos, calculamos o comprimento de todos os lados dos triângulos da cadeia usando-se Astronomia, calculamos as coordenadas ( latitude e longitude ) de um dos vértices e medimos o ângulo ( chamado azimute ) que um dos lados faz com a direção norte. Com todas essas informações, calculamos as coordenadas dos demais vértices. Se a região tiver um diâmetro de até cerca de 20 Km, podemos considerar os triângulos da cadeia como planos, e dizemos que temos uma triangulação topográfica. Para regiões maiores precisamos levar em conta a esfericidade da Terra, tratando os triângulos da cadeia como triângulos esféricos e dizemos que temos uma triangulação geodésica. Esses dois tipos de triangulações são os usados, respectivamente, pela Topografia e Geodésia. Foi só a partir de cerca de 1 750 que começou a se tornar coisa comum se usar triangulações geodésicas para a feitura de mapas de municípios, estados a até continentes, e a se usar as triangulações topográficas para o mapeamento de áreas menores (diâmetro menor do que 20 Km). Até então o uso das triangulações se restringia a trabalhos de natureza mais científica do que técnica. Com efeito, os primeiros usos das triangulações ocorreu na determinação do comprimento de um arco de meridiano para assim obter o tamanho da Terra. A primeira dessas medidas de meridiano foi feita pelo próprio Snell, o qual usou uma pequena modificação da versão clássica de triangulação, descrita acima. Expliquemô-la com o exemplo da figura ao lado, que usa uma cadeia de 7 triângulos : A base é AB e CD é o lado do qual medimos o azimute. Após calcular os lados dos triângulos da cadeia, um novo uso de Trigonometria Esférica nos dá o comprimento das projeções desses lados sobre o meridiano e isso nos permite obter o comprimento do arco xy em Km. Tendo determinado a latitude dos vértices extremos, A e I, temos a amplitude de xy em graus. Daí, um cálculo simples nos dá quantos Km mede um arco de um grau na superfície terrestre e então a circunferência da Terra. Snell usou uma cadeia de 33 triângulos e acabou fazendo um erro de 3.4%, para menos. Em 1 669, Picard usou uma cadeia de 13 triângulos para refazer a medida do meridiano. Obteve para diâmetro da Terra 12 554 Km, o que dá erro de 1.6%. 4.- A modernização da Geodésia por Gauss, c. 1 820 O século dos 1 700 foi o século do grande desenvolvimento da Trigonometria em ordem a viabilizar e facilitar os cálculos de triangulações topográficas e geodésicas. Contudo, as técnicas aí desenvolvidas não tinham condições de atenuar o efeito dos inevitáveis erros de medida, o que acabava comprometendo a qualidade dos mapas de maior tamanho. A introdução do tratamento dos erros de observação na Geodésia e na Topografia, aumentando em muito a exatidão do trabalho dessas disciplinas, só ocorreu com o famoso matemático Gauss c. 1 820. A maioria das pessoas o conhecem como matemático puro e desconhecem que ganhava seu sustento como matemático aplicado. No início do século passado, durante as guerras napoleônicas, Gauss foi ordenado por Napoleão a fazer um mapa de grande precisão da região de Hannover, Alemanha. Para levar a cabo sua missão, Gauss acabou desenvolvendo uma série de resultados matemáticos ( teoremas sobre a distribuição normal ou gaussiana, o método da regressão linear, etc ) para poder controlar o efeito dos erros de observação nos levantamentos geodésicos, bem como renovou ( com cuidados relevantes às necessidades de alta exatidão em Geodésia ) as técnicas de resolução dos triângulos e os métodos geodésicos tradicionais. Por exemplo, boa parte da determinação das coordenadas geográficas de marcos do interior do Brasil, pelo Serviço Geográfico do Exército, foram feitas usando o Método de Cálculo da Latitude de Gauss. 1.- A enorme importância desses problemas Localizamos um ponto sobre a superfície terrestre via duas coordenadas: a latitude do ponto : que é o ângulo entre o plano equatorial e o raio pelo ponto a longitude do ponto : que é o ângulo entre o meridiano pelo ponto e um meridiano de referência ( como o de Greenwhich ) Um grau de latitude corresponde a um arco cujo comprimento é o mesmo em qualquer local sobre a superfície terrestre ( cerca de 110 Km ), enquanto que os graus de longitude dão arcos cujo comprimento varia com o local ( de 110 Km no Equador diminuem para zero nos pólos ). O primeiro uso dessas coordenadas ocorreu na feitura de mapas e isso foi feito já por Ptolemaios c 150 dC. A necessidade de calcular essas coordenadas tornou-se enormemente importante quando o homem comue isso é, em geral, falso. Construamos um triângulo cujo A valha 90 ° do seguinte modo. Fixemos os círculos maximais onde estarão B e C. A seguir, tomemos C de modo que o lado b meça 45 °. Examinamos, finalmente, o que ocorre à medida que os círculos maximais por C cortam o primeiro círculo maximal por A ( esses cortes dão os B dos sucessivos triângulos que vamos gerando ). Por que os a produzidos tendem a 45 °, à medida que B se aproximar de A ? 3.- Notícia sobre a resolução dos triângulos esféricos Fórmulas básicas lei dos senos ( de al-Biruni ) : sen a -------------------------------------------------------------------------------- sen A = sen b -------------------------------------------------------------------------------- sen B = sen c -------------------------------------------------------------------------------- sen C lei dos co-senos ( de al-Battani ) : cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A Os problemas clássicos de resolução de triângulo esférico Problema clássico de resolução de triângulos é todo aquele onde são dados ângulos e lados e se quer determinar os demais. Na Trigonometria Plana temos apenas quatro casos clássicos. Mas na Trigonometria Esférica, como a soma dos ângulos não tem um valor fixo, temos seis casos: ( os lados e ângulos dados estão em vermelho ) Observe que a versão plana do primeiro caso é desconsiderada por ter infinitas soluções; por outro lado, a versão plana do quarto é absorvida pelo sexto caso. Um exemplo simples: Sendo dados A = 60 °, b = 30 ° e c = 60 °, achar o lado e ângulos restantes. Solução: Usaremos a lei dos cos três vezes: cos a = cos 30° cos 60° + sen 30° sen 60° cos 60° = 0.649 519 053, logo a = 49° 29' 41" cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C, dá cos C = -0.164 398 988 e daí C = 99° 27' 44" cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B, dá cos B = 0.821 994 937 e daí B = 34° 42' 54". 1.- A idéia genial de Hipparchos Os problemas de triângulos mais comuns e importantes são aqueles em que, a partir de alguns lados e ângulos conhecidos, queremos achar os demais lados e ângulos. Esses problemas trazem o inconveniente de que as relações entre esses elementos usualmente não são algébricas. Por exemplo, no caso de um triângulo qualquer a relação entre os lados do mesmo não é algébrica, a não ser no caso especial de triângulos retângulos ( para os quais vale o teorema de Pythagoras ). Contudo, introduzindo a função trigonométrica co-seno, podemos facilmente achar relações algébricas entre os lados e os cos dos ângulos do triângulo, conforme nos diz o teorema dos co-senos, em notação clássica : a2 = b2 + c2 - 2 b c cos A Este método é mais complexo do que o anterior mas produz resultados bem mais exatos. Ao contrário do anterior, este método envolve a resolução de um triângulo esférico, o chamado triângulo posicional do ponto P onde está o observador ( por exemplo, no navio ): Os vértices desse triângulo são: PV = pólo celeste visível para o observador Z = zênite do observador E = uma estrela conhecida e visível para o observador O observador em P inicia seu trabalho fazendo as seguintes determinações: mede o ângulo Z ( fácil de fazer, pois ZPV é um meridiano celeste e então está na direção norte-sul ) mede a altura da estrela E relativamente ao horizonte de observador e então acha o valor do lado EZ = 90° - altura de E acha o valor do lado EPv consultando uma tabela, chamada Tabela de Efemérides ( essas tabelas são publicadas anualmente pelos observatórios astronômicos nacionais ) Feito isso, resta resolver o triângulo posicional, obtendo ZPv a partir do ângulo Z e dos lados EPv e EZ. A latitude desejada é 90° - ZPv. 3.- O problema da longitude Para esse problema foi muito mais difícil achar um método capaz de dar resultados exatos para o caso de navios em mar alto. Mil fatores dificultavam o problema: a oscilação do navio, a impossibilidade de ancorar para fazer medidas, etc. A leitura do edital do famoso Longitude Act, formulado em 1 714 pelo governo inglês, dá uma boa idéia da problemática: oferecia prêmio equivalente a 12 milhoes de dollares atuais por um método capaz de achar a longitude com erro até meio grau prêmio de 9 milhões para método com erro até 2 / 3 de grau prêmio de 6 milhões para método com erro até um grau ( Para ter uma idéia mais concreta dessas exigências, use que um grau de longitude, no equador, equivale a cerca de 110 Km.) A luta pela obtenção desses prêmios ocupou boa parte daquele século. Três eram os métodos concorrendo: o método de Galileo que explorava o "relógio celeste" formado pelas luas de Júpiter o método que dependia da construção de um relógio capaz de manter a hora mesmo com as oscilações e intempéries de uma viagem oceânica o método da distância lunar. Dados o dinheiro e a fama envolvidos, os acontecimentos foram extremamente tumultuados e demorados. Pode-se, porêm, dizer que o método vencedor foi o do relógio mecânico de John Harrison. Embora a construção desse relógio tenha requerido décadas de trabalho e criatividade contínua, a idéia do método é bastante simples: O navegador leva um relógio que indica a hora HG no meridiano de Greenwhich usando o Sol como estrela E, resolve-se o triângulo posicional obtendo a hora local HL na posição do navio Usando que em 24 horas a Terra rota 360° de longitude, a diferença HG - HL multiplicada por 15° dá a longitude do navio EXERCICIO Na época dos descobrimentos, os portugueses usavam a posição da Lua entre as estrelas para achar a longitude. Como essa gira em torno da Terra a cada 27 dias, é vista em posições diferentes do céu conforme variar a longitude do observador terrestre. Essas diferenças são muito pequenas, difíceis de constatar num navio. Ademais, na época, não existiam almanaques lunares confiáveis. Mesmo com o famoso almanaque de Regiomontanus ( 1 474 ) os erros na determinação da longitude podiam chegar a 10 ° . Quantos Km isso significa ? .- Trigonometria na análise e síntese de SINAIS PERIODICOS O resultado básico é um dos mais importantes teoremas da Matemática, o Teorema de Fourier ( 1 820 ) Sendo y = y( t ) uma função periódica de período fundamental T e escrevendo w = 2 / T , então ( sob condições que na prática sempre são verificadas e assim nem as explicitaremos ) esse sinal pode ser escrito como uma soma de senóides, chamada série de Fourier : Normalmente, essa soma envolve uma quantidade infinita de senóides. Para obter o valor numérico dos parâmetros ( os R's e os thetas ) dessa série, é conveniente calcular quantidades auxiliares, An , Bn , do seguinte modo: finalmente, para obter os R's e thetas, resolvemos as seguintes equações: EXEMPLO O teorema acima não é uma completa novidade. Com efeito, um caso muito particular seu corresponde às conhecidas fórmulas de linearização, da Trigonometria Elementar: sen2 t = 1/2 - 1/2 cos 2t = 1/2 - 1/2 sen ( 2t + / 2) sen3 t = 3/4 sen t - 1/4 sen 3t sen4 t = 3/8 - 1/2 cos 2t + 1/8 cos 4t = 3/8 - 1/2 sen ( 2t + / 2 ) + 1/8 sen ( 4t + / 2 ) etc, etc. aras]-->

A genialidade de Fourier está em perceber que ele continua valendo para funções que, aparentemente ao menos, nada tem a ver com senos e co-senos e são apenas periódicas.



2.- Trigonometria na análise de SISTEMAS DINAMICOS



Obtenção de respostas naturais desses sistemas



Respostas naturais de um sistema dinâmico são as que dá quando não há excitação ou input nenhum atuando sobre o mesmo. O exemplo clássico é o do oscilador harmônico simples, quando oscila unicamente por suas características inerciais e elásticas, sem sofrer a ação de nenhuma força externa.

O modelo matemático das oscilações naturais do oscilador harmônico simples é a equação diferencial :



my" + ky = 0



onde m é sua massa, k sua constante elástica e y = y(t) dá a elongação das oscilações em termos do tempo. Se as oscilações iniciam de uma elongação inicial y(0) = y0 e com uma velocidade inicial y'(0) = v0, então mostra-se que:

O uso das funções trigonométricas continua sendo essencial na análise de sistemas dinâmicos mais complicados e que tenham comportamento oscilatório ( periódico, oscilatório amortecido ou oscilatório explosivo ). Esse tipo de análise é fundamental na Engenharia, Física, Biomedicina, etc.



Obtenção de respostas excitadas desses sistemas



O que vamos dizer a seguir aplica-se ao caso dos sistemas dinâmicos estáveis, que estão entre os de maior interesse nas aplicações na Engenharia. O estável significa que todas as respostas naturais do sistema são transitórias, ou seja : sua magnitude tende a zero ao tempo ir para o infinito.

Esses sistemas tem uma notável propriedade:



basta sabermos o output do sistema quando excitado por inputs senoidais para podermos achar seu output quando excitado por QUALQUER input periódico



Mais precisamente, quando excitados pelo input I = sen wt, eles produzem um output da forma



y = R( w ) sen ( wt + ( w ) )



mais uma parcela transitória, que depende das condições iniciais do sistema, mas que é irrelevante a longo prazo.

As funções R = R( w ) e = ( w ) podem ser achadas tanto analiticamente como a nível de laboratório. Tendo-as, podemos usar o Teorema de Fourier para obter a resposta ( output ) do sistema quando excitado por qualquer input periódico de período fundamental T. Com efeito, supondo o sistema também seja linear ( para que possamos dizer que o output associado a uma soma é a soma dos inputs ), pelo tal teorema, o output será: