translações
as reflexões relativamente a um plano dado
as rotações de um ângulo dado e em torno de um eixo orientado dado
( as rotações sempre são medidas no sentido de um saca-rolhas que tem a direção e sentido do eixo dado )
É muito simples escrever a representação matricial de qualquer translação , das reflexões relativamente aos planos coordenados e das rotações em torno dos eixos coordenados. Contudo, para tratar os casos de reflexão relativamente a um plano qualquer, e rotação em torno de um eixo qualquer precisaríamos desenvolver algumas tecnicalidades que alongariam em muito nosso passeio por esse assunto. Assim que nos limitaremos a exemplificar alguns casos fáceis:
exemplo :
reflexão relativamente ao plano coordenado XY:
x ' = 1 0 0 . x
y ' 0 1 0 y
z ' 0 0 - 1 z
exemplo :
rotação de um angulo Ø em torno do eixo dos x:
x ' = 1 0 0 . x
y ' 0 cos Ø - sen Ø y
z ' 0 sen Ø cos Ø z
3.- Movimentos rígidos quaisquer : teorema de Euler
Todo movimento rígido, plano ou espacial, pode ser obtido fazendo uma translação, seguida de uma rotação e finalmente de uma reflexão
( possivelmente, uma ou duas dessas transformações podem ser omitidas ).
prova no caso plano :
é imediata formalização do que está colocado nas figuras abaixo, onde mostra-se como superpor um triângulo azul dado a qualquer triângulo vermelho a ele congruente:
Reduzindo o movimento de uma figura ao de um conjunto FINITO de seus pontos
O interesse de atingir esse objetivo está em que ele nos possibilitará reduzir o movimento rígido da figura à uma multiplicação de duas matrizes, de um modo semelhante ao que já fizemos com a transformação do quadrado do primeiro exemplo que vimos quando introduzimos a idéia de transformação.
A desejada redução é bastante fácil de ser conseguida: basta que façamos uma discretização da figura a movimentar.
Para que entendamos melhor tal discretização, imaginemos que queiramos fazer o movimento rígido de um sólido qualquer, como uma bola. Para isso, iniciamos dividindo a superfície desse sólido em um número finito de triângulos ( se conveniente, podemos usar qualquer outro polígono plano ) com o que substituímos o sólido dado por uma sua versao fio de arame. É muito fácil vermos que a versão fio de arame pode ser uma representação tão fiel quanto quizermos do sólido dado: tudo o que precisamos fazer é usar uma quantidade adequadamente grande de triângulos convenientemente pequenos.
Resta observarmos que para fazer um movimento rígido qualquer da figura fio de arame basta fazermos o movimento de cada um dos vértices dos triângulos que a compõe, pois os movimentos rígidos preservam a linearidade dos lados dos triângulos.
A realização EFICIENTE do movimento rígido de uma figura qualquer
O teorema de Euler nos leva quase lá
Ele nos diz que qualquer movimento rígido pode ser escrito como uma composição M.R.T de movimentos rígidos básicos adequados: T = translação, R = rotação e M = reflexão. Mas essa composição ainda não ="mso-spacerun: yes">
--------------------------------------------------------------------------------
= 4 37
100
Este método foi aprimorado e em 1617 Napier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da parte decimal.
Por muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos em virtude da precisão proporcionada. Os números decimais simplificaram muito os cálculos e passaram a ser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal.
--------------------------------------------------------------------------------
Frações Decimais
Dentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. Este tipo é denominado fração decimal.
Exemplos: Frações decimais
1/10
3/100
23/100
1/1000
1/103
--------------------------------------------------------------------------------
Números Decimais
Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.
A fração:
127
--------------------------------------------------------------------------------
100
pode ser escrita como:
1,27
onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notação subentende que a fração 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:
127 100 27
--------------------------------------------------------------------------------
=
--------------------------------------------------------------------------------
+
--------------------------------------------------------------------------------
100 100 100
A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte decimal. Aqui observamos que este número decimal é menor do que 1 porque o numerador é menor do que o denominador da fração.
--------------------------------------------------------------------------------
Leitura de números decimais
Para ler números decimais é necessário primeiramente, observar a localização da vírgula que separa a parte inteira da parte decimal.
Um número decimal pode ser colocado na forma genérica:
Centenas Dezenas Unidades , Décimos Centésimos Milésimos
Exemplo:
130,824 1
Centena 3
dezenas 0
unidades , 8
décimos 2
centésimos 4
milésimos
Exemplos:
0,6 Seis décimos
0,37 Trinta e sete centésimos
0,189 Cento e oitenta e nove milésimos
3,7 Três inteiros e sete décimos
13,45 Treze inteiros e quarenta e cinco centésimos
130,824 Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milésimos
--------------------------------------------------------------------------------
Transformação de frações decimais em números decimais
Podemos escrever a fração decimal 1/10 como: 0,1. Esta fração é lida "um décimo". Notamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:
0 , 1
parte inteira parte fracionária
Uma outra situação nos mostra que a fração decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se lê da seguinte maneira: "dois inteiros e trinta e um centésimos". Novamente observamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:
2 , 31
parte inteira parte fracionária
Em geral, transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo com que o numerador da fração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a divisão do numerador pelo denominador.
Exemplos:
130/100 = 1,30
987/1000 = 0,987
5/1000 = 0,005
--------------------------------------------------------------------------------
Transformação de números decimais em frações decimais
Também é possível transformar um número decimal em uma fração decimal. Para isto, toma-se como numerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado.
Exemplos:
0,5 = 5/10
0,05 = 5/100
2,41 = 241/100
7,345 = 7345/1000
--------------------------------------------------------------------------------
Propriedades dos números decimais
Acréscimo de zeros após o último algarismo significativo
Um número decimal não se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros à direita do último algarismo não nulo de sua parte decimal.
Exemplo:
0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000
1,0002 = 1,00020 = 1,000200
3,1415926535 = 3,141592653500000000
Multiplicação por uma potência de 10
Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais.
Exemplos:
7,4 x 10 = 74
7,4 x 100 = 740
7,4 x 1000 = 7400
Divisão por uma potência de 10
Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, ... casas decimais.
Exemplos:
247,5 ÷ 10 = 24,75
247,5 ÷ 100 = 2,475
247,5 ÷ 1000 = 0,2475
--------------------------------------------------------------------------------
Operações com números decimais
Adição e Subtração
Para efetuar a adição ou a subtração de números decimais temos que seguir alguns passos:
Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem somados ou subtraídos acrescentando zeros à direita de suas partes decimais.
Exemplos:
2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723
2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723
Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), de forma que o algarismo das unidades de um número deverá estar embaixo do algarismo das unidades do outro número, o algarismo das dezenas de um número deverá estar em baixo do algarismo das dezenas do outro número , o algarismo das centenas deverá estar em baixo do algarismo das centenas do outro número, etc), a vírgula sob a outra vírgula e a parte decimal (décimos, centésimos, milésimos, etc) de forma que décimos sob décimos, centésimos sob centésimos, milésimos sob milésimos, etc.
Exemplos:
2,400
+ 1,723
2,400
- 1,723
Realizar a adição ou a subtração.
Multiplicação de números decimais
Podemos multiplicar dois números decimais transformando cada um dos números decimais em frações decimais e realizar a multiplicação de numerador por numerador e denominador por denominador.
Exemplo:
225 35 225x35 7875
2,25x3,5 =
--------------------------------------------------------------------------------
×
--------------------------------------------------------------------------------
=
--------------------------------------------------------------------------------
=
--------------------------------------------------------------------------------
= 7,875
100 10 100x10 1000
Podemos também multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas às do multiplicador.
Exemplo:
2,25 2 casas decimais multiplicando
x 3,5 1 casa decimal multiplicador
1125
+ 675
7,875 3 casas decimais Produto
Divisão de números decimais
Como visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como o divisor de uma divisão por 10, 100 ou 1000, o quociente não se alterará. Utilizando essas informações poderemos efetuar divisões entre números decimais como se fossem divisões de números inteiros.
Exemplo: 3,6 / 0,4 = ?
Aqui, dividendo e divisor têm apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão números inteiros. Na prática, dizemos que "cortamos" a vírgula.
3,6 3,6 x 10 36
--------------------------------------------------------------------------------
=
--------------------------------------------------------------------------------
=
--------------------------------------------------------------------------------
= 9
0,4 0,4 x 10 4
Exemplo: 0,35 ÷ 7 = ?
Aqui, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor é um inteiro, logo multiplicamos ambos por 100 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão inteiros.
0,35 0,35×100 35
--------------------------------------------------------------------------------
=
--------------------------------------------------------------------------------
=
--------------------------------------------------------------------------------
= 0,05="mso-spacerun: yes">
--------------------------------------------------------------------------------
= 4 37
100
Este método foi aprimorado e em 1617 Napier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da parte decimal.
Por muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos em virtude da precisão proporcionada. Os números decimais simplificaram muito os cálculos e passaram a ser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal.
--------------------------------------------------------------------------------
Frações Decimais
Dentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. Este tipo é denominado fração decimal.
Exemplos: Frações decimais
1/10
3/100
23/100
1/1000
1/103
--------------------------------------------------------------------------------
Números Decimais
Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.
A fração:
127
--------------------------------------------------------------------------------
100
pode ser escrita como:
1,27
onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notação subentende que a fração 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:
127 100 27
--------------------------------------------------------------------------------
=
--------------------------------------------------------------------------------
+
--------------------------------------------------------------------------------
100 100 100
A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte decimal. Aqui observamos que este número decimal é menor do que 1 porque o numerador é menor do que o denominador da fração.
--------------------------------------------------------------------------------
Leitura de números decimais
Para ler números decimais é necessário primeiramente, observar a localização da vírgula que separa a parte inteira da parte decimal.
-32
80
-80
0
Logo, a divisão 10/16 é igual a 0,625. Note que o quociente é um número decimal exato, embora não seja um inteiro.
--------------------------------------------------------------------------------
Comparação de números decimais
A comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses números. Para isso, faremos uso dos sinais: > (maior); < (menor) ou = (igual). Números com partes inteiras diferentes O maior número é aquele que tem a parte inteira maior. Exemplos: 4,1 > 2,76, pois 4 é maior do que 2.
3,7 < 5,4, pois 3 é menor do que 5. Números com partes inteiras iguais Igualamos o número de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necessários. Após esta operação, teremos dois números com a mesma parte inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual é o maior deles. Exemplos: 12,4 > 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31.
8,032 < 8,47 pois 8,47 = 8,470 e 032 < 470.
4,3 = 4,3 pois 4 = 4 e 3 =
--------------------------------------------------------------------------------
Porcentagem
Ao abrir um jornal, ligar uma televisão, olhar vitrines, é comum depararmos com expressões do tipo:
A inflação do mês foi de 4% (lê-se quatro por cento)
Desconto de 10% (dez por cento) nas compras à vista.
O índice de reajuste salarial de março é de 0,6% (seis décimos por cento)
A porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta, onde uma das razões da proporção é uma fração cujo denominador é 100. Toda razão a/b na qual b = 100 chama-se porcentagem.
Exemplo: Se há 30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o número de meninas com o número total de alunos da sala, usando para isto uma fração de denominador 100, para significar que se a sala tivesse 100 alunos então 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por cento é o mesmo que
30
--------------------------------------------------------------------------------
= 30%
100
Exemplos:
Calcular 40% de R$300,00.
O nosso trabalho será determinar um valor X que represente em R$300,00 a mesma proporção que R$40,00 em R$100,00. Isto pode ser resumido na proporção:
40 X
--------------------------------------------------------------------------------
=
--------------------------------------------------------------------------------
100 300
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, podemos realizar a multiplicação cruzada para obter:
100 X = 12000
logo
X = 120
Portanto, 40% de R$300,00 é igual a R$120,00.
Li 45% de um livro que tem 200 páginas. Quantas páginas ainda faltam para ler?
45 X
--------------------------------------------------------------------------------
=
--------------------------------------------------------------------------------
100 200
o que implica que
100 X = 9000
logo
X = 90
Como já li 90 páginas, ainda devo ler 200-90 = 110 páginas.
Nenhum comentário:
Postar um comentário