Exemplos:
-3 + 3 = 0
6 + 3 = 9
5 - 1 = 4
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Propriedades da adição de números inteiros
Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z + 0 = z
7 + 0 = 7
Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que
z + (-z) = 0
9 + (-9) = 0
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A Multiplicação (produto) de números inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderiamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhastify">Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por N*, isto é:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
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A construção dos Números Naturais
Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.
Exemplos:
O sucessor de m é m + 1 se, m é um número natural.
O sucessor de 0 é 1.
O sucessor de 1 é 2.
O sucessor de 19 é 20.
Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.
Exemplos:
1 e 2 são números consecutivos
5 e 6 são números consecutivos
50 e 51 são números consecutivos
Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.
Exemplos:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 são números consecutivos
5, 6 e 7 são números consecutivos
50, 51, 52 e 53 são números consecutivos
Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).
Exemplos:
O antecessor de m é m-1 se, m é um número natural finito diferente de zero.
O antecessor de 2 é 1.
O antecessor de 56 é 55.
O antecessor de 10 é 9.
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:
P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a sequência dos números ímpares.
I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
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Igualdade e Desigualdades
Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita, escreveremos A=B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por:
(lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é importante a ordem dos elementos no conjunto.
Exemplo com igualdade:
Notamos que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A=B.
Vamos considerar agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão distintos. Neste caso, dizemos que A é diferente de B.
Sejam A = {a,b,c,d} e B = {1,2,3,d}. Estes conjuntos são diferentes pois nem todos os elementos do conjunto A estão em B e nem todos os elementos do conjunto B estão em A.
Não podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto.
Exercício: Coloque um dos três sinais: <, > ou = em cada linha da tabela abaixo.
159 170
852 321
587 587
Exercício: Representar cada conjunto analiticamente, isto é, através de alguma propriedade e depois por extensão, apresentando os elementos:
N : Conjunto dos Números Naturais
P : Conjunto dos Números Naturais Pares
I : Conjunto dos Números Naturais Ímpares
E : Conjunto dos Números Naturais menores que 16
L : Conjunto dos Números Naturais maiores que 11
R : Conjunto dos Números Naturais maiores ou iguais a 28
C : Conjunto dos Números Naturais que estão entre 6 e 10
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Operações com Números Naturais
Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação.
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A adição de números naturais
A primeira operação fundamental da Aritmética, tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.
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Propriedades da Adição --------------------------------------------------------------------------------
Fechamento
A adição é fechada no conjunto dos números naturais, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N.
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Associativa
A adição é associativa no conjunto dos números naturais, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro.
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Elemento neutro
Na adição de números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.
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Comutativa
A adição é comutativa no conjunto dos números naturais, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.
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Curiosidade: Tabela de adição
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Para somar dois números com a tabela em anexo, basta fixar um número na primeira linha e um segundo número na primeira coluna e na interseção da linha com a coluna fixadas, obtemos a soma desses números.
Como exemplo, na tabela ao lado, se tomamos o número 7 que está na linha horizontal e o número 6 que está na linha vertical, obteremos a soma 13 que está no cruzamento das duas linhas.
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Multiplicação de Números Naturais
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.
Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:
4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36
O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal x ou · ou × para representar a multiplicação.
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Propriedades da multiplicação
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Fechamento
A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais númros naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.
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Associativa
Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.
(m.n).p = m.(n.p)
(3.4).5 = 3.(4.5) = 60
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Elemento Neutro
No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:
1.n = n.1 = n
1.7 = 7.1 = 7
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Comutativa
Na multiplicação de dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que se multiplicarmos o segundo elemento pelo primeiro elemento.
m.n = n.m
3.4 = 4.3 = 12
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Propriedade Distributiva
Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.
m . ( p + q ) = m . p + m . q
6 x ( 5 + 3 ) = 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48
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Divisão de Números Naturais
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.
Relações essenciais numa divisão de números naturais
Numa divisão de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.
35 : 7 = 5
Numa divisão de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.
35 = 5 x 7
A divisão de um número natural n por zero não tem sentido pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderiamos escrever:
n ÷ 0 = q
e isto significa que:
n = 0 x q = 0
o que não é correto, logo a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.
Exercício: Substituindo X por 6 e Y por 9, qual o valor da soma do dobro de X pelo triplo de Y.
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Potenciação de Números Naturais
Dados dois números naturais x e y, a expressão xy, representa um produto de y fatores iguais ao número x, ou seja:
xy = x . x . x . x ... x . x . x
y vezes
O número que se repete como fator denomina-se base que neste caso é x. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é y. O resultado denomina-se potência. Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais.
Exemplos:
23 = 2 . 2 . 2 = 8
43 = 4 . 4 . 4 = 64
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Propriedades da Potenciação
Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotado por 1n, será sempre igual a 1.
Exemplos:
1n = 1 . 1 ... 1 (n vezes) = 1
13 = 1 . 1 . 1 = 1
17 = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1
Se n é um número natural diferente de zero, então a potência no será sempre igual a 1.
Exemplos:
no = 1
5o = 1
49o = 1
A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é uma expressão carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental. O visitante que necessitar aprofundamento neste assunto, deve visitar o nosso link Quanto vale zero elevado a zero?
Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotado por n1 é igual ao próprio n.
Exemplos:
n1 = n
51 = 5
641 = 64
Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.
Exemplos:
103 = 1000
108 = 100.000.000
10o = 1
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Potenciação com o browser
Para obter uma potência Mn com o Browser Netscape, como, por exemplo 125, digite (ou copie com Control+C) a linha de comando:
javascript:Math.pow(12,5)
exatamente da forma como está escrito, na caixa que aparece em seu browser com o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento (location=endereço). Após isto, pressione a tecla ENTER. Você verá uma nova janela como a resposta 248832. Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.
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Números grandes
No livro "Matemática e Imaginação", o matemático americano Edward Kasner apresentou um número denominado googol que pode ser representado por 1 seguido de 100 zeros.
1 Googol = 10100
Ele pensou que este era um número superior a qualquer coisa que passasse pela mente humana sendo maior do que qualquer coisa que pode ser posta na forma de palavras. Um googol é um pouco maior do que o número total de partículas elementares conhecidas no universo, algo da ordem de 1080. Se o espaço com estas partículas fosse comprimido de uma forma sólida com neutrons, este ficaria com algo em torno de 10128 partículas.
Um outro matemático criou então o googolplex e o definiu como sendo 10 elevado ao googol.
1 Googolplex = 10Googol = 1010100
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